[서평] 수학으로 생각하기 - 스즈키 간타로 지음, 최지영 옮김

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Overview

세상은 복잡하다. 무언가를 창작하는 길을 걷다 보면 얽힌 실타래와도 같은 문제를 만나게 된다. 어떤 문제를 해결하면 또 다른 문제가 나를 기다린다. 창작은 문제 해결의 연속이다.

그렇다면, 이제까지 문제를 해결하기 위해 내가 생각해볼 수 있었던 문제 해결 과정은 무엇이었는지 생각해보았다. 가장 쉬운 방법은 다른 사람이 해결한 방법을 따르는 것이다. 즉, 해결을 위해 만들어둔 패턴이자 공식 혹은 매뉴얼을 사용하는 것이다. 공식을 사용하여 문제를 해결하면 당장 눈앞에 보이는 문제를 이해하고 해결했다는 착각을 준다. 그리고 다른 곳에서 같은 문제를 다시 만나면 기억에 의존하여 해결하는 불상사가 발생한다.

물론 지식을 쌓는 방식으로 무언가 문제를 해결할 수 있을지도 모른다. 그러나 세상에 알려지지 않은 문제점은 해법도 존재하지 않을 터이니 해결할 수 없을 것이다. 더 나아가 많은 정보가 흘러넘치는 현대 사회에서 어떤 정보가 옳고 그른지 판단하지도 못한다면 지식을 쌓는 다는 행위가 더 이상 유의미할지도 모르겠다.

이번에 읽은 책에서는 논리적, 수학적으로 이해하는 힘을 이른바 "수학머리" 이고 "이해한다"는 것을 사물의 근본적인 성질, 요소(본질)에서 출발해 바른 논리 전재로 결론이 이끌어지는 일련의 흐름을 안다는 것으로 정의한다. 복잡한 세상에서는 수학 머리와 생각하는 힘을 갖춘다면 더욱 강력한 경쟁력이 될 수 있을 것이라 믿는다. 이 책에서 얻고 싶은 것은 지식이 아닌 생각하는 과정이다!

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수학을 못하는 사람의 특징은 무엇인가?

책의 서두에는 수학머리가 있는 사람을 설명하기 위해 수학 머리가 없는 사람의 특징을 설명한다. 다음의 특징을 잘하는 사람은 수학 머리가 있는 사람이 될 수 있을 것이다. 책에 담긴 위 내용을 읽으면서 사유해본 내용을 서술해보겠다.

1. 정의를 소홀히 여긴다.
2. 문제 푼는 법만 외운다.
3. 왜 그렇게 되는지 생각하지 않는다.
4. 머리를 안쓴다.
5. 실수를 깨닫지 못한다.
6. 전체 흐름을 보지 못한다.
7. 귀납적 사고를 하지 않는다.
8. 조건을 놓친다.

이유를 생각하자!

왜 분수의 나눗셈은 뒤집어서 곱하나요?

국어사전을 찾아보면 "나누다"라는 동사의 의미를 다음과 같이 설명한다.

1. 동사 (물건) 하나의 물건을 둘 이상으로 나누다. / (thing) Divide one thing into two or more.
2. 동사 (몫) 몫을 따로 떼어 주다. / (allotment) Separate a share.

고도의 지능을 갖고 있는 인간은 나누다는 의미를 위와 같이 알고 있는데, 정작 나누기라는 수학적 연산은 어떻게 이뤄지는지 생각해본 경험이 별로 없었다. 한 가지 예시를 살펴보자!

4분의 19리터의 물을 5분의 2리터씩 컵에 부으면 몇 개의 컵에 부을 수 있을까?

통분을 통해 단위를 맞춰주면 20분의 1을 단위 기준으로 95개를 8개씩 나누면 몇 봉지인지 묻는 문제와 같아진다. 근데 95라는 숫자는 19 곱하기 5, 8이라는 숫자는 4 곱하기 2와 같다. 역수를 곱한 꼴이 나오게 되는 것이다. 이 과정을 문자로 일반화시켜보자!

반대로 생각해야 보인다, 귀납적 사고!

구체에서 추상으로

구체적 사건에서 일반적인 규칙을 발견하면 귀납법, 확립된 일반적 규칙에 구체적인 일을 적용시켜 해결하면 연역법이라고 부른다. 좀 더 자세하게 풀어보면 구체적인 낱낱의 사항들에서 보편적 규칙을 발견하는 방법이 귀납법, 일반 이론이나 보편적 개념에서 필연적인 논리 전개에 의해 결론을 이끌어내는 추론 방법이 연역법이다.

대표적인 연역법의 사용 사례는 일반 이론과 보편적 개념을 수식화 하여 구체적인 수치를 넣으면 항상 바른 결과를 얻을 수 있도록 만든 것을 통해 수학 문제를 풀이하는 것이다. 그런데, 모든 수학 문제가 공식에 숫자를 대입하는 방식으로 답이 나오는 것은 아니다. 다음의 문제 사례를 살펴보자!

x미터의 통나무를 n미터(n은 x의 약수) 길이로 잘라 나누려고 합니다. 1회 자르는데 a분 걸리고 1회 자를 때마다 b초 쉽니다. 나무를 자르기 시작해서 다 자를 때까지 몇 분이 걸릴까요?

위와 같은 문제는 패턴화 할 수 있으면 풀 수 있다. 그러나 모든 문제를 패턴화 하여 암기하는 것은 쉬운 일이 아니다. 또한 아무리 수학을 잘하는 사람이라도 추상적인 사고로 생각하는 것 또한 쉬운일이 아니다. 구체적 사례로 생각한 것을 일반화, 추상화해나가는 과정이야말로 진정한 귀납적 사고이다. 위 문제를 수월하게 생각할 수 있도록 구체화시켜보자!

10미터의 통나무를 2미터 길이로 잘라 나누려고 합니다. 1회 자르는데 5분 걸리고 1회 자를 때마다 40초 쉽니다. 나무를 자르기 시작해서 다 자를 때까지 몇 분이 걸릴까요?

총 소요 시간(분) = 나무를 자르는 시간(분) + 쉬는 시간(분)

• 나무를 자르는 시간(분) = 나무를 자른 횟수 * 5분 = 4회 * 5분 = 20분
• 나무를 자른 횟수 = 자른 나무 개수 - 1 = 5덩어리 - 1 = 4회
• 자른 나무 갯수 = 총 나무 길이 / 나누고자 하는 단위 나무 길이 = 10미터 / 2미터 = 5덩어리
• 쉬는 시간(분) = 쉰 횟수 * 쉬는데 소요된 시간(분) = 3회 * 40 / 60 (분)
• 쉰 횟수 = 나무를 자른 횟수 - 1 = 4회 - 1 = 3회
• 쉬는데 소요된 시간(분) = 40 / 60 (분)

위와 같이 구체적으로 생각한 식을 문자로 바꾸어 수식을 만들 수 있을 것이다! 위에서 소개한 나눗셈을 소개하는 과정과 유사하다. 공식을 사용하지 않고 구상에서 추상을 추려내어 문제를 푸는 방식으로 산을 넘고 있다.

나를 돌아보자!

2022년에는 구체적인 것에서 특정 관점을 갖고 중요한 점을 추려내여 개념을 정의해나가는 분야에 많은 관심을 갖고 있었다. 이유는 내가 목표로 하는 것인 본질에 집중하여 더 많은 일을 해내고 싶었기 때문이다. 이 관점으로 컴퓨터를 바라보면 "서로 다른 카테고리에서 특정 목표를 성취하기 위해 동작하는 각종 메커니즘의 원리가 동일하지 않은가?" 하는 생각이 든다.

본래 컴퓨터 CPU는 0과 1로 이루어진 데이터를 덧셈 연산만을 활용하여 계산한다. 컴퓨터 프로그램으로 덧셈 연산만을 활용하여 많은 일을 할 수 있던 이유는 곱셈, 나눗셈, 뺄셈을 하고 싶다는 공통의 작업 단위를 묶어 네이밍 한 함수를 덧셈을 사용하여 구현했기 때문이다. 좀 더 구체적으로 들어가면 이진 연산을 빠르고 효율적으로 계산하기 위한 테크닉이 구현에 포함되었을 것이다. 10진법 연산을 할 수 있던 것도 이진법 체계를 특정 단위로 묶어서 10진법으로 해석했기 때문에 컴퓨터에서 인간에 가까운 진법 체계로 연산을 돌릴 수 있었다.

데이터를 처리하기 위해 프로그래밍을 하다 보면 다양한 함수를 정의하게 된다. 다양한 종류의 프로그래밍 언어에는 각종 표준처럼 사용하는 API 가이드라인이 있는데 네이밍에 관한 규정은 항상 빠지지 않는다! 또한 프로그래밍을 하면서 많이 고민하는 요소로 네이밍을 생각하기도 한다.

역사가 깊은 라이브러리인 수학에서 연산자 함수를 정의한 사례를 살펴보면 "곱한다", "나눈다"와 같은 연산자 네이밍을 통해 특정 작업 관점에서 관심 있는 핵심 행위를 추려 덧셈을 통해 연산을 구현하고 있다. 상급의 연산이 정의될 때에는 이전에 추상화된 연산을 활용하여 고수준의 연산이 정의된다.

컴퓨터 프로그램에서 함수는 무언가 목표를 달성하는데 필요한 절차를 추상화하는 데 사용된다. 공통의 작업 단위를 잘 묶어내지 못하면 특정 문제를 해결하는데 종속된 프로그램이 만들어지기 마련이다. 공통의 작업 단위는 문제를 부분 부분 조각내면서 묶이게 된다. 이렇게 만들어진 함수를 사용하여 해당 함수가 무언가를 하는데 필요한 절차가 아닌 무엇을 해주는지에 집중할 수 있게 도와준다. 네이밍을 통한 절차 추상화 관점에서 바라보면 함수가 다르게 보인다.

무언가 내가 풀고 있는 문제가 잘 해결되지 않을 때에는 이른바 "수학 머리" 관점으로 자신을 디버깅해보면 큰 성장을 할 수 있을 거라 생각된다!